Полный кавалер ордена Славы - командир отделения мотоциклетной роты 7-го отдельного гвардейского Пражского орденов Богдана Хмельницкого, Александра Невского, Красной Звезды мотоциклетного батальона (10-й гвардейский танковый корпус, 4-я танковая армия, 1-й Украинский фронт), гвардии старший сержант - на момент представления к награждению орденом Славы 1-й степени.
Родился 8 августа 1923 года в городе Кемерово в семье рабочего. Русский. Член ВКП(6)/КПСС с 1942 года, Окончил среднюю школу. Работал электросварщиком на азотнотуковом заводе.
В 1941 году призван в Красную Армию. В боях Великой Отечественной войны с июля 1942 года. В составе 303-й стрелковой дивизии 60-й армии участвовал в боях под Воронежем. Был ранен. После излечения в госпитале прошёл обучение на механика-водителя танка и в апреле 1943 года направлен в 197-ю танковую бригаду 30-го танкового корпуса, в составе которого направлен на фронт. Вскоре Другова перевели в мотоциклетный батальон на должность командира отделения, В составе 4-й танковой армии Брянского фронта он участвовал в Орловской операции. В феврале 1944 года армия вошла в состав 1-го Украинского фронта, Освобождала западную Украину в ходе Проскуровско-Черновицкой и Львовско-Сандомирской операций.
Командир отделения мотоциклетной роты 7-го отдельного гвардейского мотоциклетного батальона (10-й гвардейский танковый корпус 4-я танковая армия, 1-й Украинский фронт) гвардии сержант Другов вместе с подчинёнными 14 июля 1944 года при выполнении задания по захвату «языка» восточнее станции Зборов (Золочевский район, Львовская область) подкрался к вражеской траншее и в рукопашной схватке уложил двух гитлеровцев, одного с пулемётом взял в плен. 27 июля в районе города Самбор (Львовская область) под сильным огнём выявил расположение вражеских огневых средств.
28 августа 1944 года за мужество, проявленное в боях с врагом, гвардии сержант Другов награждён орденам Славы 3-й степени (№ 214043).
В последующем, преследуя отходившие немецкие войска, 4-я танковая армия вступила на территорию Польши и во взаимодействии с другими армиями фронта вела бои по удержанию и расширению сандомирского плацдарма.
Вновь гвардии старший сержант Другов отличился во время Сандомирско-Силезской операции.
26 января 1945 года во время разведки путей выхода к местам форсирования реки Одер в 25 километрах северо-западнее города Бреслау (Вроцлав, Польша) он с подчиненными уничтожил трёх гитлеровцев и шесть взял в плен.
Приказом по 4-й танковой армии от 13 марта 1945 года гвардии старший сержант Другов награждён орденом Славы 2-й степени (№ 26353).
В боях за период с 13 по 21 марта 1945 года в района деревень Бухельсдорф, Рененсдорф, Айтмансдорф (Германия), возглавляя отделение, истребил с бойцами свыше двадцати солдат противника, в том числе трёх фаустникав, и взял в плен семерых.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, гвардии старший сержант Другов Илья Дмитриевич награждён орденом Славы 1-й степени (№ 214).
24 июня 1945 года старшина Другов участвовал в Параде Победы на Красной площади в Москве. После демобилизации в 1948 году вернулся в Кемерово. Работал газозлектросварщиком на производственно-ремонтном предприятии «Кузбассэлектроремонт».
Награжден орденами Отечественной войны 1-й степени, Славы 1-й, 2-й и 3-й степени, медалями.
Умер 12 октября 1990 года. В Кемерово на доме где жил И.Д. Другов установлена мемориальная доска.